Process journal of learning by Attila Vajda

braid theory, fonáselmélet kezdeti lépések

Valahogy így lehet, próbálom megérteni, gondolkozok róla, fonom:

ha van két fonalad 二,
és keresztezed őket, kapsz egy ilyet: ⤬

    keresztezés
二 -------------> ⤬

azthiszem a fonáselméletben egy keresztezés jele σ,

二 --σ--> ⤬

二 --σ--> ⤬ --σ--> ⤬⤬ --σ--> ⤬⤬⤬ --σ-->...

ℕ-ben, vagyis a természetes számoknál, szintén lehet σ a +1 jele, ami a következő, succ, köv nyíl:

0 --σ--> 1 --σ--> 2 --σ--> 3 --σ-->...

...,⤫⤫⤫ ⟵ ⤫⤫ ⟵ ⤫ ⟵ 二 ⟶ ⤬ ⟶ ⤬⤬ ⟶ ⤬⤬⤬,...

ℤ-ben, az egész számokban
...,-3 ⟵ -2 ⟵ -1 ⟵ 0 ⟶ 1 ⟶ 2 ⟶ 3,...
két irány van, -1≅σ⁻¹ és +1≅σ¹

...,⤫⤫⤫ ⟵ ⤫⤫ ⟵ ⤫ ⟵ 二 ⟶ ⤬ ⟶ ⤬⤬ ⟶ ⤬⤬⤬,...

Egyik irányba is csavarhatod a fonatot és a másik irányba is.

Ez a csoport a B₂,
2-szálas braid group,
az egyik legegyszerűbb fonatcsoport!
Talán egyszerűbb B₁, ahol egy szál van,
és B₀ amiben nincs szál.

Ha a két fonalat 二 egyik irányba keresztezed ⤬, aztán a másik irányban, ⤫, akkor visszajutsz 二.

二 --σ--> ⤬ --σ⁻¹ -> 二 ⤬⤫ = 二

ℤ≅B₂, vagyis az egész számoknak ugyanaz a struktúrája, mint a két szálas fonatcsoportnak.

A≅B a jel, hogy egymással isomorf két dolog, "sort of the same", nagyjából ugyanaz a minta valamilyen szempontból.

Boolean halmazban van {⊥,⊤},
- azthiszem ez a klasszikus logika alapja, igaz/hamis, fekete-fehér gondolkozásmód

ℤ mod 2 -ben {0,1}, ez a kettes számrendszer

ℤ/2ℤ={0,1}

Boolean≅ℤ/2ℤ
{0,1}≅{⊥,⊤}

B₂ mod 2:
二 ⟶ ⤬ ⟶ 二 …
二 ⟵ ⤬ ⟵ 二 …

ℤ/2ℤ:
0 ⟶ 1 ⟶ 0 …
0 ⟵ 1 ⟵ 0 …

keresztezd a jobb oldali végeket:
二 ⟶ ⤬

aztán keresztezd ugyanígy a bal oldali végeket
⤬ ⟶ 二

B₂ mod 2:    二 ⟶ ⤬ ⟶ 二 ⟶ ⤬ ⟶ 二 …
   ↑↓                   ↑↓
 ℤ/2ℤ:       0 ⟶ 1 ⟶ 0 ⟶ 1 ⟶ 0 …
   ↑↓                   ↑↓ 
Boolean:     ⊥ ⟶ ⊤ ⟶ ⊥ ⟶ ⊤ ⟶ ⊥ …

 二--σ-->⤬
 |       |
 |       |
 0---s-->1
 |       |
 |       |
 ⊥---¬-->⊤

σ⇄s⇄¬

Valahogyan a keresztezés a fonásban hasonló az összeadáshoz, és ez valahogyan olyan, mint a tagadás

σ⇄s⇄¬

és ha van ilyen minta, hogy

minta₁= a⇄b⇄c

és

minta₂= d⇄e⇄f

akkor minta₁ ⇄ minta₂

ez valahol olyan, mint
二 ∧ ⤬
0 ∧ 1
⊥ ∧ ⊤

ezt még nem értem, hogy hogyan van, de talán pont ezért érdekes ezen gondolkozni, hasonló minták között átmenetek vannak. A hópehely és a hatszög között ❄️→⬡, a hóesés és az eső között. Eső, esőcseppek, havazás, hópelyhek. Könyv, benne a szavak, kottában a hangjegyek,

eső    ⇄  havazás
 ⇅           ⇅
könyv  ⇄   kotta

Lehet, hogy itt is olyan példa kell, ami könnyű, intuitív, majd talán idővel könnyebben eltudom mondani, ha jobban értem.

Látunk a dolgok között kapcsolatokat, és a kapcsolatok között is vannak kapcsolatok, és a kapcsolatok kapcsolatai között is, és így tovább… Milyen szempontból hasonlít valami, milyen kapcsolatot nézel?

B₂%2  ⇄     ℤ%2
 ⇅           ⇅
 2     ⇄     𝔹
 
      | ↑ 
      ↓ |
       
eső    ⇄  havazás
 ⇅           ⇅
könyv  ⇄   kotta